Numerical Methods
เรียนรู้การประมาณค่าและการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขผ่านภาพเคลื่อนไหว สูตร และตัวอย่างทีละขั้น เริ่มจากพื้นฐานของ Riemann Sum แล้วต่อยอดไปสู่ Adaptive Simpson, Romberg Integration และ Gaussian Quadrature
Numerical Integration
เส้นทางจากการรวมพื้นที่ชิ้นเล็ก ๆ ไปสู่การเลือกจุดและกำจัด error อย่างเป็นระบบ
Riemann Sum: จุดเริ่มต้นของการประมาณพื้นที่
แบ่งพื้นที่ใต้กราฟเป็นสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ แล้วดูว่าค่าประมาณเข้าใกล้ปริพันธ์อย่างไร
Trapezoidal Rule: ใช้เส้นตรงแทนความโค้ง
เปลี่ยนจากสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู เพื่อให้ขอบบนเกาะกราฟได้ดีขึ้น
Simpson’s 1/3 Rule: ใช้พาราโบลาแทนกราฟ
อาศัยจุด 3 จุดเพื่อสร้างเส้นโค้งกำลังสองที่เกาะกราฟได้ดีกว่าเส้นตรง
Simpson’s 3/8 Rule: ใช้สามช่วงต่อหนึ่งชุด
อีกเวอร์ชันของ Simpson ที่ใช้จุด 4 จุดและเหมาะเมื่อจำนวนช่วงหารด้วย 3 ลงตัว
Simpson 1/3 vs 3/8: เลือกแบบไหนดี
เปรียบเทียบเงื่อนไข จำนวนช่วง น้ำหนัก และความแม่นของ Simpson ทั้งสองแบบ
Trapezoid vs Simpson: ทำไมเส้นโค้งจึงแม่นกว่า
ดูด้วยภาพว่าเส้นตรงและพาราโบลาแทนรูปทรงของกราฟต่างกันอย่างไร
Adaptive Simpson: แบ่งละเอียดเฉพาะที่จำเป็น
ไม่แบ่งทุกช่วงเท่ากัน แต่ใช้ error ตัดสินว่าบริเวณใดควรแบ่งต่อ
Adaptive Simpson ทำงานจริงทีละขั้น
คำนวณ coarse, fine, error และ tolerance จนเห็นว่าช่วงไหนต้องแบ่งต่อ
Romberg Integration EP1: จาก Trapezoid สู่การกำจัด error
นำค่า Trapezoidal Rule หลายระดับมาผสมกัน เพื่อกำจัด error หลัก
Romberg Integration EP2: สร้างตารางทีละช่อง
อ่านทิศทางของตาราง Romberg และคำนวณทุกช่องจนกำจัด error ได้หลายชั้น
Gaussian Quadrature: เลือกจุดให้ฉลาดที่สุด
แทนที่จะแบ่งช่วงเพิ่ม ลองเลือกตำแหน่งจุดและน้ำหนักให้เกิดความแม่นสูงสุด